LINGKARAN

A. Persamaan Lingkaran

1. Definisi Lingkaran

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama dengan titik tertentu.

Keterangan : Berjarak sama disebut jari-jari dan titik tertentu disebut titik pusat lingkaran.

2. Menyusun Persamaan Lingkaran

a. Persamaan Lingkaran Berpusat di O(0,0) dan Jari-Jari r

|OP|²       = ( x₀ – 0 )² + ( y₀ – 0 )²

r²           = x₀² + y₀² dengan menjalankan titik P(x₀,y₀) diperoleh persamaan lingkaran dengan pusat (0,0) adalah x² + y² = r²

Contoh :

Tentukan jari-jari :

• x² + y² = 36

Jawab : r² = 36

                   r   = 6

• x² + y² = 25

Jawab : r² = 25

                  r   = 5

• 3x² + 3y² = 27
• Jawab : x² + y² = 9

                                       r² = 9

                                       r   = 3

b. Persamaan Lingkaran dengan Pusat M(a,b) dan Jari-Jari r

Persamaan lingkaran adalah :

(x₁ – a )² + ( y₁ – b )² = |MP|²

(x₁ – a )² + ( y₁ – b )² = r²

Dengan menjalankan titik P (x₁,y₁) diperoleh :

(x₁ – a )² + ( y₁ – b )² = r²

Contoh :

• Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat titik M(2,3) dengan jari-jari √5!

Jawab :

(x₁ – a )² + ( y₁ – b )² = r²

Jadi, (x – a )² + ( y – b )² = (√5)²

                       (x – 2 )² + ( y – 3 )² = 5

• Diketahui persamaan lingkaran (x + 7 )² + ( y – 1 )² =49

Jawab :

1. Pusat Lingkaran

Titik Pusat

(x+7) = 0            (y – 1 ) = 0

x = -7                    y = 1

             ( -7, 1)

1. Jari-jari Lingkaran

r = √49

     = 7

 c. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran

Persamaan linkaran dengan pusat M(a,b) dengan jari-jari r adalah :

( x – a )² + ( y – b )² = r² à x² + y² – 2ax – 2by + ( a² + b² – r² ) = 0

• x² + y² + Ax + By + C = 0

dengan A = -2a , B = -2b , dan C = a² + b² – r², A,B,C € R

Persamaan lingkaran secara umum dengan pusat M(a,b) dan jari-jari r adalah :

x² + y² + Ax + By + C = 0

a = – ½ A

b = – ½ B

r = √ ¼ A² + ¼ B² – C

NB : Koefisien x² harus sama dengan koefisien y².

Contoh :

Carilah titik pusat dan jari-jari persamaan lingkaran 2x² + 2y² + 16x – 8y – 10 = 0

Jawab :

2x² + 2y² + 16x – 8y – 10 = 0

x² + y² + 8x – 4y – 5 = 0

pusatnya di titik (-4,2)

jari-jari r = √(-4)² + (2²) – (-5)

               = √16 + 4 + 5

               = √25

               = 5

d. Posisi Titik P(x_1,y₁) pada Lingkaran

Posisi Titik P(x_1,y₁) terhadap Lingkaran dengan Pusat M(a,b)

a. Titik P(x_1,y₁) di dalam lingkaran

|PM| < r à x₁² + y₁² + Ax₁ + By₁ + C < 0

Atau

(x₁ – a )² + ( y₁ – b )² < r²

b. Titik P(x₁,y₁) pada lingkaran

|PM| = r à x₁² + y₁² + Ax₁ + By₁ + C = 0

Atau

(x₁ – a )² + ( y₁ – b )² = r²

c. Titik P(x₁,y₁) di luar lingkaran

|PM| > r à x₁² + y₁² + Ax₁ + By₁ + C > 0

Atau

(x₁ – a )² + ( y₁ – b )² > r²

Contoh :

Tentukan posisi titik A(-2,2), B(4,7) dan C (7,4) terhadap lingkaran dengan persamaan x² + y² – 4x – 6y – 12 = 0.

Jawab :

Persamaan lingkaran x² + y² – 4x – 6y – 12 = 0 à (x – 2)² + ( y – 3)² =25

Titik A(-2,6) pada lingkaran, sebab (-2-2)² + (6 – 3 )² = 25

Titik B(4,7) di dalam lingkaran, sebab (4-2)² + (7 – 3 )² < 25

Titik C(7,4) di luar lingkaran, sebab (7-2)² + (4 – 3 )² > 25

 6. Posisi Garis terhadap Lingkaran

Jika diketahui garis g : y = mx + n dan lingkaran L = x² + y² + Ax + By + C = 0

Untuk garis g : y = mx + c disubstitusikan ke persamaan lingkaran :

          x² + (mx + n)² + Ax + B ( mx + n )x + n² + Bn + C = 0

          (1 + m²) x² + ( 2mn + A + Bm)x + n² + Bn + C = 0

Nilai diskriminan D = b² – 4ac

                                    D = ( 2mn +A + Bm)² – 4(1 + m²)( n² + Bn + C )

Jika ,

• D > 0 berarti garis g memotong L
• D = 0 berarti garis g menyinggung L
• D < 0 berarti garis g tidak memotong dan tak menyinggung L

Contoh :

Tentukan kedudukan atau posisi garis g : y = 10x + 5 terhadap lingkaran

x² + y² + 8x – 12 y + 34 = 0 .

Jawab :

g : y = 10x + 5 disubstitusikan ke persamaan x² + y² + 8x – 12 y + 34 = 0

          x² + (10x + 5)² + 8x – 12 y(10x + 5) + 34 = 0

          x² + 100x² + 100x +25 + 8x – 120 -60 + 34 = 0

                                                              101x² – 12x – 1 = 0

Nilai D = b² – 4ac

D = ( -12)² – 4(101)(-1)

   = 548

Maka D > 0

Jadi, kedudukan garis g : y = 10x + 5 adalah memotong lingkaran

x² + y² + 8x – 12 y + 34 = 0

B. Persamaan Garis Singgung Lingkaran

1) Persamaan Garis Singgung Melalui Suatu Titik pada Lingkaran

1. Jika titik P(x₁, y₁) pada lingkaran x² + y² = 5, maka persamaan garis singgungnya xx₁ + yy₁ = r²
2. Jika titik P(x₁, y₁) pada lingkaran (x – a)² + (y – b)² = r², maka persamaan garis singgungnya (x₁ – a) (x – a) + (y₁ – b) ( y – b) = r²
3. Jika titik P(x₁, y₁) pada lingkaran x² + y² + Ax + By + 0 = 5, maka persamaan garis singgungnya x₁x + y₁y + ½ A( x + x₁) + ½ B ( y + y₁) + c = 0

Contoh :

• Carilah persamaan garis singgung pada lingkaran x ² + y ² = 25 di titik (3, -4).

Jawab :

Titik (3,-4) pada lingkarab, sebab 3² + (-4)² = 25

Jadi, persamaan garis singgungnya x₁x + y₁y =25

                                                                              3x – 4y = 25

• Carilah persamaan garis singgung pada lingkaran (x + 2)² + (y – 1)² = 25 di titik (2, -2).

Jawab :

Posisi titik (2,-2) pada lingkaran (x + 2)² + (y – 1)² = 25

Jadi, persamaan garis singgungnya (2 + 2) ( x + 2) + (-2 – 1)(y – 1) = 25

                                                                             4(x + 2) – 3( y – 1 )= 25

                                                                             4x + 8 – 3y + 3 – 25 = 0

                                                                             4x – 3y – 14 = 0

 2) Persamaan Garis Singgung Melalui Suatu Titik di luar Lingkaran

Langkah-langkahnya sebagai berikut :

Tentukan persamaan garis polar atau kutub dengan persamaan xx₁ + yy₁ = r²

(untuk titik P(x₁,y₁) di luar lingkaran x² + y² = r² )

Keterangan : titik A dan titik B adalah titik-titik singgung.

1. Persamaan garis kutub, substitusikan pada persamaan lingkaran, sehingga memperoleh koordinat-koordinat titik singgung.
2. Gunakan rumus bagi adil paad titik singgung titik singgung tersebut. Hasil rumus bagi adil merupakan persamaan garis singgung lingkaran melalui P(x₁, y₁).

Contoh :

Carilah persamaan garis singgung lingkran x² + y² = 5² yang dapat ditarik dari titik P(1,7)!

Jawab :

Langkah 1.

Persamaan garis kutubnya adalah :

xx₁ + yy₁ = 25

x + 7y = 25

          x = -7y +25

Langkah 2.

Persamaan garis kutub disubstitusikan ke persamaan lingkaran x² + y² = 25.

(-7y+25)² + y² = 25

49y² – 350y + 625 + y² – 25 = 0

                 50y² – 350y + 500 = 0

                               y² -7y + 12 = 0

                           ( y – 4) (y – 3 ) = 0

                 y – 4 = 0                                y – 3 = 0

                       y = 4                                      y = 3

              x = -7y + 25                          x = -7y + 25

                  = -7(4) + 25                          = -7(3) + 25

                    = -3                                       = 4

Titik singgung (-3,4)                 titik singgung (4,3)

Langkah 3.

Jadi persamaan garis singgungnya.

• Melalui titik A(-3,4) adalah -3x + 4y = 25.
• Melalui titik B (4,3) adalah 4x + 3y = 25.

3)  Persamaan Garis Singgung dengan Gradien Tertentu

Misalkan persamaan garis dengan gradien m adalah g : y = mx + n

Persamaan garis singgung pada lingkaran dengan persamaan x² + y² = r², dengan gradien m adalah :

y = mx ± r √m² + 1

Persamaan garis singgung dengan gradien m pada lingkaran

x² + y² + Ax + By + C = 0 atau (x – a)² + ( y – b )² = r² adalah

y – b = m(x – a) ± r√m²+1

Contoh :

Carilah persamaan garis singgung pada lingkaran (x-3)² + ( y-2)² = 8 dengan gradien 1 !

Jawab :

Persamaan lingkaran (x-3)² + ( y-2)² = 8 berpusat di titik (3,2) dan r = √8

Persamaan garis singgung        y – b = m(x – a) ± r√m²+1

                                                              y – 2 = 1(x – 3) ± (√8)(√1+1)

                                                                y – 2 = (x – 3) ± √16

                                                                  y     = x – 3 + 2 ± 4

                                                                    y     = x – 1 ± 4

jadi persamaan garis singgungnya         y = x – 1 + 4               y = x – 1 – 4

                                                                                y = x + 3                      y = x – 5